Рис. 4 показывает формы сечения конуса плоскостями, направленными под разными углами к его оси. Плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает его поверхность по окружности. Если угол уменьшить, линия пересечения будет иметь вид эллипса. Плоскость, проходящая параллельно образующей конуса, пересекает его поверхность по параболе, а если угол еще уменьшить, то по гиперболе.
Точки окружности равноудалены от ее центра, и начертить ее проще всего циркулем. Эллипс можно начертить с помощью двух булавок и колечка из нитки. Точки, где воткнуты булавки, называются фокусами эллипса. Отношение расстояния между фокусами к большой оси эллипса называется эксцентриситетом e. Окружность можно рассматривать как эллипс, фокусы которого совпадают, расстояние между ними равно нулю и эксцентриситет окружности равен нулю. Если фокусы разнести на бесконечно большое расстояние, то эксцентриситет станет равным 1, а эллипс превратится в параболу. Эксцентриситет гиперболы всегда больше единицы. Ветви параболы стремятся стать в бесконечности параллельными, а ветви гиперболы — слиться с двумя прямыми, угол между которыми может быть от нуля до 180°.
Если окружность, эллипс, параболу или гиперболу вращать вокруг оси симметрии, то образуются поверхности, форма которых определяется этими кривыми. Окружность образует сферу, эллипс— эллипсоид, парабола — параболоид, гипербола — гиперболоид. Вращение эллипса вокруг малой оси дает поверхность, называемую сплюснутым сфероидом. Эксцентриситет сплюснутого сфероида всегда отрицателен.
Из всех поверхностей, образованных коническими сечениями, только сфера имеет повсюду одинаковую кривизну и один радиус кривизны. Поэтому сделать оптически точную сферическую поверхность проще, чем любую другую. У эллипсоидов, параболоидов, гиперболоидов, сплюснутых сфероидов кривизна в вершине и на других зонах различна. Если радиусом кривизны при вершине любой из этих поверхностей очертить сферу, касательную в вершине, то такая сфера называется параксиальной сферой.
Максимальное отступление асферического зеркала от параксиальной сферы называется асферичностью зеркала (или любой асферической поверхности) (рис. 4). Она равна
Можно подобрать такую сферу сравнения, когда ее отступление от данной асферической поверхности будет минимальным. Такая сфера называется ближайшей сферой сравнения. Асферичность одного и того же зеркала будет вчетверо меньше для ближайшей сферы сравнения, чем для параксиальной сферы:
В первом случае для получения асферической поверхности на первоначальной сфере придется сполировать наибольший слой стекла в центре зеркала. Во втором случае нужно сполировать частично центр и частично крайние зоны Практически в обоих случаях мы получим совершенно одинаковые поверхности, хотя фокусное расстояние их и будет отличаться на 1—2 мм.
Представим себе, что все перечисленные поверхности алюминированы снаружи и внутри. Посмотрим, как будут вести себя лучи от точечного источника света, помещенного в некоторых особых точках. Если светящаяся точка помещена в центр сферы, то отраженные от сферы лучи построят изображение точки также в центре. Центр сферы является изображением самого себя. Он одновременно и геометрический фокус сферы.
Разместив светящуюся точку в одном из фокусов эллипсоида, мы получим ее изображение обязательно во втором фокусе. Фокусы эллипсоида являются изображениями друг друга. Один из фокусов параболоида расположен в бесконечности. Если светящаяся точка расположена в бесконечности, то ее изображение расположится во втором фокусе параболоида, лежащем на середине радиуса кривизны при вершине. Параболоид более всего подходит для изображения бесконечно удаленных предметов. Фокусы гиперболоида также являются изображениями друг друга.
То же произойдет, если на поверхность направить световые лучи снаружи. Если пучок гомоцентрический (см. § 1) и его центр совпадает с одним из фокусов поверхности, то мнимое изображение источника после отражения расположится во втором фокусе.
Изображения точек, расположенных в одном из фокусов перечисленных поверхностей, свободны от искажений (аберраций). Но если точку сместить из фокуса, то сопряженная точка (изображение) также сместится из второго фокуса и будет в той или иной мере искажено аберрациями (см. §5, 6).
Сплюснутый сфероид ни при каких обстоятельствах не построит безаберрационное изображение. Это, конечно, не означает, что сплюснутый сфероид — “бесполезная” поверхность. В сочетании с другими поверхностями он может давать прекрасные результаты.
Предыдущий параграф |
Глава первая |
Следующий параграф |