Глава пятая. МЕХАНИКА ТЕЛЕСКОПА

§ 6. КАК ОЦЕНИВАТЬ ЖЕСТКОСТЬ УЗЛОВ МОНТИРОВКИ

Одна из самых важных характеристик монтировки - ее жесткость. Расчет монтировки на жесткость - дело непростое, очень трудоемкое и требует хорошего знания теоретической механики и высшей математики. Но тщательный расчет нам не так уж и нужен. Важно уметь оценить жесткость при выборе той или иной конструкции, того или иного материала.

В этом параграфе мы рассмотрим несколько примеров такой оценки. Для анализа сначала всю конструкцию разобьем на несколько простых элементов (консоль, балка, растягиваемый или сжимаемый стержень). Определим внешние нагрузки на каждый элемент. Это прежде всего сила веса той части телескопа, которая опирается на рассматриваемый элемент.

Если сила действует не под прямым углом к стержню, разложим ее на две составляющие - одну действующую под прямым углом к стержню, а вторую - вдоль стержня. Сделаем это по правилу параллелограмма, известного из школьного курса физики. Сила, действующая вдоль стержня, сжимает его, а действующая поперек - изгибает. В реальных конструкциях более всего для оценки жесткости важны изгибы. Мы рассмотрим только деформации при изгибе, тем более, что деформации при растяжении и сжатии рассматриваются в школьном курсе физики.

Зная величину нагрузки, размеры стержня и точку приложения нагрузки с помощью формул на рис. 88 мы вычислим величину изгибающего момента в наиболее опасном сечении.

Величина прогиба завысит от изгибающего момента М, геометрических свойств сечения, точнее от величины момента инерции J (рис. 94) и материала, из которого сделан стержень, а точнее от модуля упругости Е (модуля Юнга, о котором можно прочесть в школьном учебнике физики)' (табл. 21).

Таблица 21. Физические свойства некоторых материалов

Рис. 94. Таблица сечений и моментов инерции

Ясно, что чем больше нагрузка (сила веса, нагрузка от ветра, от прикосновения к телескопу, от работы зеркала зеркальной камеры и т. д.) и чем больше плечо, на котором действует эта нагрузка, тем больше изгибающий момент. Прогиб конструкции прямо пропорционален изгибающему моменту. Даже большие усилия на малом (коротком) плече вызову г сравнительно небольшие деформации и, наоборот, малые нагрузки на длинном плече могут вызвать большие деформации. С точки зрения жесткости монтировки надо избегать длинных труб, консолей вилки и т. п.

С другой стороны, сравним деформации одной и той же детали, сделанной из разных материалов. Рассмотрим консоль вилки, сделанную из стали и алюминия. При прочих равных условиях меньше деформируется деталь из материала с большим модулем упругости. Так, для стали Е_ст = 2 100 000 кГ/см², а для алюминия Е_ал = 750 000 кГ/см². Это значит, что прогибы алюминиевой консоли того же сечения в 2 100 000 : 750 000 = 2,8 раза больше.

Прогибы обратно пропорциональны моменту инерции (сечения, момент инерции прямо пропорционален четвертой степени линейных размеров сечения (см. рис. 94). Иначе говоря, увеличив все размеры сечения в 2 раза, мы увеличим жесткость стержня в 2⁴ = 16 раз.

Из-за нехватки места мы не будем вникать в геометрический смысл момента инерции. Достаточно знать величину момента инерции сечения и уметь ее вычислить.

Чтобы алюминиевый стержень в предыдущем примере деформировался не больше стального, размеры его поперечного сечения нужно увеличить в = 1,3 раза. Например, если диаметр трубы, из которого сделаны консоли, увеличить с 50 до 65 мм, а толщину стенок с 4 до 5 мм, то стальную консоль можно заменить на алюминиевую. Жесткость 65-миллиметровой алюминиевой трубы будет та же, что и 50-миллиметровой стальной. Но плотность алюминия r_ал = 2,8 г/см³, а стали - r_ст = 7,7 г/см³. Вычислим объем в сантиметрах и массу обеих труб длиной по 1 метру

Масса стальной равна

При одинаковой жесткости 65-миллиметровая алюминиевая труба в 4,4 : 2,6 = 1,7 раза легче 50-миллиметровой стальной.

Этот пример наглядно показывает, что для достижения большой жесткости необязагельно повышать вео монтировки. Именно таким путем идут конструкторы серийных любительских телескопов, когда важно, чтобы даже относительно крупные инструменты оставались еще транспортабельными.

Другой пример. Если диаметр оси склонений немецкой или английской монтировки увеличить в 1,19 раза, например с 50 до 59,6 w 60 мм, то момент инерции и жесткость возрастут в 1,19⁴ = 2 раза. Во столько же уменьшатся прогибы оси при различных нагрузках. Если же прогибы оставить прежние, то на 60-миллиметровой оси можно «повесить» трубу вдвое тяжелее.

Рассмотрим, на какой угол закрутится полярная ось, закрепленная тормозом на расстоянии l от ее верхнего конца, где крепится корпус оси склонений. Этот угол для круглого стержня равен

где М_к - момент кручения, l - закручиваемая длина оси, G - модуль упругости при сдвиге, который для большинства металлов приблизительно равен трети модуля упругости при изгибе (G » 0,3E), R - радиус оси.

Предположим, что к верхнему концу телескопа на расстоянии L=110 см от оси склонений приложена сила в 1,5 кГ в направлении суточной параллели. Возьмем самый опасный случай, когда труба телескопа направлена на экватор и ее ось перпендикулярна полярной оси. В этом случае М_к = l,5*110 =165 кГ*см. Примем длину закручиваемой части полярной оси (расстояние от ее тормоза или червячной пары до верхнего конца) l = 50 см (рис. 90, в). Диаметр оси возьмем равным 4 см, тогда R = 2 см. Положим материал оси - сталь. Тогда модуль упругости сдвига G==2 100 000 x 0,3=630 000 кГ/см2. Подставив все значения величин в формулу, получим

Если принять во внимание, что в действительности деформироваться будут и труба и ось склонений и деформации могут возникнуть также в месте сочленения полярной оси c корпусом оси склонений, то ясно, что реальное смещение объекта в поле зрения будет еще больше. Особенно это опасно в ветреную погоду, когда нагрузка быстро меняется, а телескоп дрожит. Чтобы увеличить жесткость оси, можно перенести червячную пару ближе к оси склонений. Если, например, взять l = 10 см, то деформации оси уменьшатся в 50 : 10 = 5 раз.

Если для полярной оси использована толстостенная труба, то вместо R⁴ нужно взять (R₁⁴ - R₂⁴), где R₁и R₂ - наружный и внутренний радиусы трубы.

Рассмотрим кручение траверзы вилки, когда на трубу телескопа действует боковая нагрузка, как в предыдущем случае. Возьмем ту же нагрузку и длину трубы L. Если ширина вилки (расстояние между консолями) В, то силы, действующие на концы консолей, равны P₁ = P₂ = P₃ * L/B. Примем ширину вилки B=40 см. Тогда усилия на концах консолей будут равны P₁ = P₂ = 1,5 * 110 : 40 = 4,125 кГ. Крутящий момент М = 4,125 * 40 = 165 кГ*см.

Если вилка и траверза сделаны из труб, то расчет дальше ведется, как в предыдущем примере. Если траверза - прямоугольный стержень (алюминий), то угол поворота равен

где b - высота сечения, с - ширина сечения, а - коэффициент, который для квадратного сечения, когда b/с = 1, равен 0,14. Если отношение b/с==1,5, то a = 0,20, при b/с = 2 a = 0,23, при b/с=4 и более a » 0,3.

Предположим, что траверза имеет сечение b x c =12x5 см. Тогда угол кручения в нашем примере составит

Последовательно складывая деформации всех элементов монтировки, мы найдем общее смещение оптической оси телескопа. В зависимости от требований к телескопу это смещение может оказаться допустимым или недопустимым. Нужно только иметь в виду, что чаще всего при снятии нагрузки телескоп довольно быстро успокаивается. К сожалению, время, в течение которого затухают колебания телескопа (одна из самых важных характеристик монтировки), рассчитывается слишком сложными методами. Чтобы читатель мог сделать выбор конструкции и размеров ее элементов, лучше всего внимательно изучить помещенные в этой книге рисунки и фотографии построенных телескопов. Автор стремился избегать слишком схематических изображений.